ANTECEDENTES HISTÓRICOS

La palabra estadística trae a la mente de la mayoría de las personas la idea de un grupo de datos numéricos. Para las personas que se dedican a la estadística esta palabra significa el análisis de dichos datos y la obtensión de conclusiones lógicas a partir de los mismos. En este sentido, La ciencia de la estadística es una de las ramas más importantes de las matemáticas aplicadas.

La palabra estadística se origina del latín moderno staticum collegium (“Consejo de estado”), del latín antiguo status (“posición”, “forma de gobierno”), de la palabra italiana moderna statista (“estadista”, “político”) y del italiano antiguo stato (“estado”).

En 1749, el economista Alemán Gottfried Achenwall (1719-1792) usa por primera vez el término statistik en su libro titulado “Compendio de la constitución política de los países y pueblos europeos”, para designar el análisis de los datos de un gobierno, definiéndola como la “ciencia del estado”. A Gottfried Achenwall se le conoce como “el padre de la estadística”.

A partir del término statistik, se formaron el francés statisque, el inglés statistics,el portugués estadística. A comienzos del siglo XIX, la palabra estadística adopta un significado más generalizado hacia la recolección y clasificación de cualquier tipo de datos cuantificados.

Los comienzos de la estadística pueden ser hallados en las antiguas civilizaciones tanto en representaciones gráficas como en símbolos. Los babilonios utilizaron tablillas de arcilla para recabar datos. En el antiguo Egipto, hacia el año 3050 a.C., los faraones lograron recopilar datos detallados relativos a la población y riqueza, con el objetivo de preparar la construcción de las pirámides.

En el antiguo Israel, la Biblia también hace referencia en el “Libro de los números”, dos recuentos de la población hebrea. Los griegos efectuaron censos con fines tributarios, sociales y militares con el propósito de calcular impuestos, ponderar los derechos del voto así como la potencia guerrera. Los romanos, maestros de la organización política fueron los que mejor emplearon los recursos de la estadística, levantando censos, cada cinco años, de la población del ganado y tierras conquistadas. Es así que desde el momento en que se constituye una autoridad política, la idea de inventariar de una forma más o menos regular la población y las riquezas existentes en el territorio está ligada a la conciencia de soberanía y a los primeros esfuerzos administrativos.

A partir de las ideas mercantilistas, se pasa de la descripción de los conjuntos a la aritmética política. Colbert multiplica las encuestas sobre artículos manufacturados y la población. Vauban, más conocido por sus fortificaciones o su Dime Royale, que es la primera propuesta de un impuesto sobre los ingresos, se señala como el verdadero precursor de los sondeos, Bufón se preocupa de esos problemas antes de dedicarse a la historia natural.

La escuela inglesa proporciona un nuevo ingreso al superar la fase puramente descriptiva. Sus tres primeras representaciones son Graunt, Petty y Halley. El penúltimo es autor de la famosa Aritmética Política. Chaptal, ministro del interior francés, publica en 1801 el primer censo general de población, desarrolla los estudios industriales, de las producciones y los cambios, haciéndose sistemáticos durante las dos terceras partes del siglo XIX.

El cálculo de probabilidades se incorpora rápidamente como un instrumento de análisis extremadamente poderoso para el estudio de los fenómenos económicos y sociales y en general, para el estudio de fenómenos “cuyas causas son demasiado complejas para conocerlos totalmente y hacer posible su análisis”.

Como se puede observar, los métodos estadísticos se utilizan para propósitos descriptivos, organizar y resumir datos numéricos. Las técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en la mercadotecnia, la contabilidad, el control de calidad y en diversas actividades; estudios de consumidores; análisis de resultados en deportes; administradores de instituciones; en la educación; organismos políticos; médicos; y por otras personas que intervienen en la toma de decisiones.

Al generalizar el método científico a todos los fenómenos naturales y sociales, los investigadores reducen la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.

Existen diversas publicaciones consideradas como valiosas aportaciones para la estadística, por mencionar algunos tenemos:

El libro titulado Natural and Political Observations made upon the Bills and Mortality, de John Graunt, contenía los nacimientos y muertes en Londres de 1604 a 1661 y fue el parteaguas en la aplicación d ela estadística del muestreo y cálculo de probabilidades.

William Playfer (1759-1823), es considerado el inventor de los gráficos lineales, de barras y sectores. En 1786 publica el libro The comercial and political Atlas que incluye gráficos de series de tiempo, y por primera vez, se usa un gráfico de barras. En 1801 utiliza el primer gráfico de sectores en su obra Playfair´s Statistical Breviary.

Sir Francis Galton (1822-1911) creó el concepto estadístico de regresión y correlación, y fue el primero en aplicar métodos estadísticos para estudiar las diferencias humanas basados en el uso de cuestionarios y entrevistas para recolectar los datos.

Herman Hollerith (1860-1929) fue un estadístico estadounidense quien desarrolló la primera máquina tabuladora basada en tarjetas perforadas y mecanismos electromecánicos para el tratamiento rápido de millones de datos. Su máquina fue usada en el censo de 1890 en Estados Unidos, misma que redujo la tabulación de los datos de 7 años (censo de 1880) a 2.5 años. Creó la firma “Computing Tabulating Recording Corporation (CTR)”, que bajo la presidencia de Thomas J. Watson, fue renombrada a “International Business Machines (IBM)” en 1924.

Major Greenwood (1880-1949) investigó los problemas de salud asociados al trabajo en fábricas. Desarrolló la epidemiología y en 1919 creó el Ministerio de la Salud en Inglaterra, responsable de datos estadísticos médicos.

REPRESENTACIÓN E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS

La población es la agrupación de todos los individuos o elementos de un tipo específico.

Para el análisis de un fenómeno cualquiera que ocurre en cierta población, es muy importante que los datos en que se sustenta, sean relevantes y significativos, por tanto, deben partir de un diseño adecuado del experimento, o bien, de una hipótesis correctamente planeada, posteriormente se debe realizar un muestreo, el cual debe ser acorde a las siguientes características:

• El tamaño de la muestra debe ser acorde a los fines requeridos.




• La selección de la muestra debe hacerse en forma aleatoria.




• La estimación de las características de la población debe hacerse en base a la delimitación de un problema en cuestión.

En este sentido el primer paso a realizar es seleccionar adecuadamente una muestra representativa de la población, así como su tamaño, pues éstos son factores sustanciales al momento de determinar la confiabilidad de los resultados obtenidos.

La muestra es el conjunto de resultados que se colectan de un hecho en una investigación y debe ser un subconjunto de una población.

Para recopilar información, se hace uso de las entrevistas, cuestionarios, documentos históricos o bien estudios realizados previamente, todo esto dependiendo del tipo de experimento que se desea realizar.

Los datos que resultan de aplicar algún instrumento para su obtención, por sí mismos no reflejan nada, toman sentido cuando se organizan, clasifican u ordenan, se presentan gráficamente o en tablas, se describen y se resaltan sus aspectos más característicos; es decir, cuando se aplican sobre éstos, las técnicas de la Estadística Descriptiva.

La importancia del muestreo adecuado gira en torno del grado de confianza con que el analista es capaz de responder las preguntas que se le formulan.

El muestreo aleatorio simple significa que cualquier muestra dada de un tamaño muestral específico tiene la misma probabilidad de ser seleccionada que cualquier otra muestra del mismo tamaño. El término Tamaño Muestral simplemente indica el número de elementos en la muestra. Evidentemente en muchos casos es posible utiliza runa tabla de números aleatorios al seleccionar la muestra. La ventaja del muestreo aleatorio simple radica en que ayuda en la eliminación del problema de tener una muestra que refleje una población diferente (quizá más restringida) de aquella sobre la cual se necesitan realizar las inferencias. Por ejemplo: se elige una muestra para contestar diferentes preguntas respecto de las preferencias políticas en cierta entidad del país. La muestra implica la elección, digamos, de 1000 familias a las cuales aplicar una encuesta.

ORGANIZACIÓN DE DATOS

Cuando uno acaba de recolectar datos y realizar un cuadro de los resultados obtenidos, se podrá observar que dichos datos no son agradables a la vista u mucho menos, pueden servir como un instrumento de análisis. Los datos se deben ordenar bien y de manera clasificada, los cuales al realizarlos deberán cumplir entre otras cosas lo siguiente:

• Contienen información completa y detallada.




• La información proporcionada es fácil de visualizar, comprender y consultar.




• Son sencillos de operar y manipular.
  
  Los datos recolectados al terminar de recolectar la información se llaman datos en bruto, es decir, que no tienen tratamiento alguno. Con la finalidad de que los datos en bruto cumplan con las características de los datos ordenados y clasificados, hay que proceder a su tratamiento.

Ejemplo de datos en bruto.
En primer lugar, la información debe ser completa y detallada, de acuerdo a la finalidad que se desea alcanzar, con el propósito de que la información sea fácil de visualizar, comprender y consultar, se ordenarán en una tabla en el cual los datos se ordenarán de menor a mayor.

Datos ordenados del ejemplo anterior.

Los datos presentados en la tabla anterior no son operables, porque hay valores que se repiten; Para dar una mejor presentación a este conjunto de datos, se elaborará una tabla de frecuencias, que en este caso debe contener dos columnas, una para representar el número en sí y la otra para representar la cantidad de veces que se repite dicho número.

Tabla de frecuencias que representa los datos del ejemplo anterior.
De la tabla anterior es importante resaltar las siguientes características:

• No existe ambigüedad al momento de referenciar los datos, pues existe un rótulo en el encabezado de cada columna.




• Los datos se encuentran ordenados y clasificados.




• Los datos muestran datos completos.




• La tabla no contiene información duplicada o repetida.

Ciertamente los datos de la tabla son fáciles de operar y manipular, pero uno se pregunta ¿Para qué me puede servir dichos datos?, veamos unas operaciones sencillas que resultan de la simple observación y que se representarán en la siguiente tabla:

Con lo explicado anteriormente se ha comprendido y utilizado dos conceptos fundamentales de la Estadística:

DATO.- Que es el resultado de la recolección de información.

FRECUENCIA: Es el número de ocurrencias o repeticiones de un determinador dato.
Asimismo podemos representar los datos de forma gráfica con un histograma como el que se muestra a continuación:

Además podemos realizar un gráfico circular en el cual se represente el porcentaje que representa cada dato con respecto del total de datos; Tendremos los porcentajes con la fórmula: Porcentaje= (frecuencia)/(total de datos)*100.

A continuación se muestra un ejemplo en el cual aplicaremos lo que acabamos de aprender:
Las siguientes calificaciones representan la calificación en el examen final para un curso de estadística elemental.

· Ordena los datos de la tabla

· Realice la tabla de frecuencias correspondientes.


· Realizar un histograma y una gráfica de pastel (gráfico circular).

ELEMENTOS FUNDAMENTALES

La humanidad siempre ha tenido la necesidad de contar, digamos que se ha hecho siempre por naturaleza, de ahí viene la idea del sistema de los números naturales; Sin embargo, no contamos solamente por contar, todo conteo tiene un propósito. A continuación se presentan algunos ejemplos de la Estadística en nuestra vida cotidiana:

• Una ama de casa va al mercado a comprar manzanas para su familia, adquiere solo un kilo y se da cuenta que equivale a 5 piezas y la familia es de seis integrantes, sin pensarlo dos veces, pide medio kilo más. Tal vez, sin darse cuenta, hizo uso de la aritmética para comprara lo que había comprado con lo que necesita consumir.


• Un alumno entra al salón el primer día de clases, se da cuenta de que ya están algunas butacas ocupadas, por tanto, rápidamente visualiza las bancas que quedan, los mejores lugares, los compañeros con los que desea convivir más, luego entonces, decide qué lugar tomar, obviamente el compañero que llegue después tendrá una opción menos para elegir su lugar. En este caso, nuevamente se tomó una decisión en base a observaciones.


• Un empresario desea invertir una fuerte suma de dinero en un negocio, entonces se allega de estudios de mercado, fluctuaciones de la bolsa, tendencias del ramo en que desea invertir, estimas de egresos e ingresos, y con base a todo esto, decide el lugar donde ubicará el negocio, la cantidad que invertirá en personal, acondicionamiento, capacitación, entre otras cosas. Nuevamente hace uso de las matemáticas para tomar decisiones.


• Un investigador quiere hacer un estudio sobre la reacción de organismos cuando se les aplica cierta sustancia o medicamento, debe seleccionar los “ratones de laboratorio” para aplicarles la prueba, ponerlos en un ambiente propio y clasificarlos por género, peso y edad, necesita registrar un historial de las dosis administrativas, y finalmente decidir, en base a toda la información recabada, si el medicamento es recomendable o no.

El manejo de la información para tomar decisiones, es el campo de estudio de la Estadística y como se ha descrito en los ejemplos anteriores, todo mundo hace uso de la estadística aún sin tener una definición precisa de ésta.

CONCEPTO DE ESTADÍSTICA Y SU CLASIFICACIÓN

La estadística es “el conjunto de técnicas para la recolección, manejo, descripción y análisis de información, de manera que las conclusiones obtenidas de ellas tengan un grado de confiabilidad especificado”.

Para poder clasificar, organizar, analizar y describir las características relevantes de la información, la Estadística cuenta con un conjunto de técnicas conocidas como Estadística descriptiva; Por otro lado, la estadística cuenta con herramientas que junto con la probabilidad, permiten hacer inducciones o conjeturas, con un cierto grado de precisión, a partir de un conjunto determinado de datos, que se le conoce como Estadística Inferencial.

Se abundará más sobre la clasificación de la estadística, a través del siguiente ejemplo:
Un grupo de polifonía vocal, preparó un concierto de arias de ópera antigua y realizó presentaciones en las capitales y principales ciudades del centro del país, al final de la gira, realizó cuadros concentrados y gráficas a partir de los datos que consideró relevantes:

• Boletos vendidos.


• Entusiasmo del público.


• Tipo de audiencia.


• Costos por presentación.


• Ganancias y pérdidas, entre otros.

Es decir, utilizó las herramientas de la Estadística descriptiva.
Ahora se está planeando la gira del próximo año, tomando como base a los datos y gráficos obtenidos.

Ahora se está planeando la gira del próximo año, tomando como base a los datos y gráficos obtenidos de la gira concluida, el grupo realiza una proyección o inferencia para armar el repertorio, elegir los mejores lugares para la presentación, el costo de los boletos, la difusión, todo esto basado en la información recabada.

CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA ESTADÍSTICA

La estadística nos sirve para entender y explicar diferentes tipos de fenómenos, ya sean físicos, químicos, sociales, demográficos, de salud, etcétera. Analicemos la aplicación del siguiente instrumento estadístico.

Una empresa comercializadora de hongos comestibles, desea hacer un estudio para lanzar un nuevo producto enlatado, en primer lugar requiere hacer una serie de entrevistas para obtener información. El director de la empresa desea conocer lo relativo a: edad, sexo, número de integrantes por familia, si incluye o no hongos comestibles en su dieta diaria, el número de veces que lo consume semanalmente, cuando es el caso y la forma o guisado en el que los consume.

Toda la información que requiere saber el director de la empresa, va a depender de la persona que se entreviste y se puede dar el caso en que la respuesta coincidan, o bien, sean totalmente opuestas. A este tipo de datos se les conoce entonces como variable.

Una variable se define como una característica asociada a un evento y que puede asumir diferentes valores.

Las variables se clasifican de acuerdo a su tipo en cualitativas o categóricas o cuantitativas.

Una variable cualitativa o categórica, se refiere a las cualidades de los elementos y están acotadas o restringidas a un conjunto determinado de datos.

En el ejemplo mencionado, la variable sexo está acotada por masculino o femenino; si incluye o no hongos en su dieta está asociada por un sí o no; la forma de guisado en que se consume, también está acotado, aunque es un conjunto más diverso y puede tomar valores como: sopa, con carne, crema, ensalada, en salsa, al vapor, entre otros.

Una variable cuantitativa es aquella que adquiere un valor numérico, ya sea de tipo real o entero.

Retomando el ejemplo, la variable edad puede tomar un valor entero, al igual que el número de integrantes de la familia y el número de veces que consume hongos comestibles en una semana.

Supongamos que se ha planeado entrevistar a 100 personas, entonces se tendrán 100 mediciones distintas, o dicho en otras palabras, se obtendrán los datos a partir de 100 fuentes diferentes.

La medición es el proceso mediante el cual se obtienen las características de un elemento.

En el ejemplo, se realiza la medición de manera directa; es decir, se obtienen los datos directamente de la fuente. De acuerdo al diseño del instrumento, se harán cuestionamientos sobre el ingreso mensual, si posee o no un auto, si tiene o no casa propia, se preguntará acerca de los servicios con que cuenta en su vivienda y si acostumbra salir de vacaciones o no; a partir de dicha información se medirá el nivel socioeconómico del encuestado, por lo tanto, se obtiene la medición a partir de otros datos que tienen una estrecha relación entre sí.

Al momento de diseñar el cuestionario, se debe tomar en cuenta el tipo de población al que va dirigido, así como el lugar donde se aplicará. En el ejemplo se ha planeado entrevistar en tiendas de autoservicio, por tanto, se puede abundar en las respuestas, a diferencia de un instrumento que se ejecute en la calle, donde el tiempo de respuesta es mínimo.

El error es una desviación del valor real esperado en la medición.

Si no se planea adecuadamente el tiempo en la entrevista, el lugar donde se aplicará, la forma de las preguntas o el tipo de respuesta se incurre en errores de diseño o sistemáticos; en cambio, si se aplica una entrevista en un error no previsible o controlable, este tipo de error se conoce como error aleatorio.

La información es el conjunto de datos relacionados.

En el problema que nos ocupa, cuando se concentran las entrevistas para su análisis, se dice que se cuenta con información; es decir, un conjunto de datos relacionados, para el caso de la Estadística, la definición puede ser precisada de la siguiente forma:
Un dato es el valor que se le asigna a una variable.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Anteriormente, se tuvo un acercamiento al manejo de datos, ya que clasificamos y organizamos los datos, obteniendo incluso gráficas de barras y diagramas de pastel; sin embargo, existen otras formas más complejas para elaborar tablas de frecuencias.
Veremos el siguiente tema a base de un ejemplo:
A la salida de un cine, se preguntó la edad de las personas que presenciaron la función, obteniéndose los siguientes datos:

Ahora ordenaremos los datos en forma ascendente para obtener nuestra tabla de frecuencias.


Para construir la tabla de frecuencias, tomaremos en cuenta el número de ocurrencias de cada dato, tal como lo realizamos anteriormente.


Analizando la tabla anterior, nos damos cuenta de que existen varios datos con frecuencia igual a 1, además de que esta tabla no cumple con una de las características que nos planteamos para el caso de los datos ordenados: la información es fácil de visualizar, comprender y consultar.



El caso está en que se están manejando de3masiada información y ya no es posible manipularlos como en el ejercicio anterior, para que la tabla de frecuencias sea resultante, es necesario crear grupos de datos, para así operarlos por conjuntos más pequeños, la forma de agrupar los datos es utilizando clases, éste es un término nuevo que se define de la siguiente manera:



La clase o intervalo es un subconjunto comprendido entre el máximo y el mínimo de un conjunto de datos, utilizados para agrupar mediciones.



Con base a la definición, necesitamos encontrar el valor numérico de los datos, mejor conocido como el mínimo; y el mayor valor numérico o el valor máximo de datos. Analizando los resultados del ejemplo propuesto, se obtiene:



Mínimo = 10
Máximo = 46



De acuerdo a la definición, la clase o intervalo se encuentra comprendida entre el máximo y el mínimo, es decir en un rango de datos.



El rango o amplitud de un conjunto de datos es la diferencia entre las observaciones de mayor y menor valor numérico.



En este caso, resulta muy sencillo calcular el rango o amplitud de las edades de las personas que asistieron a ver cierta película:



RANGO= Máximo-Mínimo
Rango=46-10
Rango=36.

De acuerdo a la clase o intervalo, la suma de todos éstos debe estar contenido entre los valores máximo y mínimo de los datos; es decir, debe cubrir al menos la amplitud o rango.



El siguiente problema es definir el número de clases que utilizaremos para clasificar los datos. Existen tres métodos para determinarlos, cuyas fórmulas se exponen a continuación:






En este caso el número de clases no coincide utilizando lo tres métodos, lo cual ocurre comúnmente, en este caso utilizamos el método empírico; sin embargo es importante conocer la existencia de otros métodos para cuando se tenga la necesidad de utilizar la Estadística en un contexto con un número realmente grande de datos. El número de clases, también es posible adaptarlo a la naturaleza de los datos, lo cual se adquiere con la experiencia.


Contamos ya con el número de clases y el rango o amplitud de los datos.


Vamos a definir el ancho de la clase o intervalo de clase.


El intervalo de clase es el ancho o tamaño de una clase.

LA MEDIA , MEDIANA Y MODA DE UNA MUESTRA

En un conjunto de datos las medidas de posición están diseñadas para brindar al analista alguna medida cuantitativa de dónde está el centro de los datos en la muestra, una medida obvia y útil es la media de una muestra. La media es simplemente un promedio numérico.



Suponga que las observaciones en una muestra son X1, X2,…,XN. La media de la muestra que se denota con x es:

Otra medida importante es la mediana de una muestra. El propósito de la mediana es reflejar la tendencia central de la muestra, de manera que no esté influida por los valores extremos. Dado que las observaciones de una muestra son X1, X2,…,XN, acomodados en orden de magnitud creciente, la mediana de la muestra es:

Ejemplo, supongamos que el conjunto de datos es el siguiente: 1.7, 2.2, 3.9, 3.11 y 14.7 . La media y la mediana son, respectivamente:
Media=5.12
Mediana=3.9

Es evidente que la media está influida de manera considerable por la presencia de la observación extrema, 14.7; en tanto que el lugar de la mediana hace énfasis en el verdadero “centro” del conjunto de datos.

Hay una diferencia de concepto evidente entre la media y la mediana. Para el lector con ciertas nociones de ingeniería quizá sea de interés que la media de la muestra es el centroide de los datos de una muestra. En cierto sentido es el punto donde se puede colocar el fulcro para equilibrar un sistema de “pesos”, que son las posiciones de los datos individuales.

La moda es el dato de mayor frecuencia, lo cual se verifica al hacer la tabla de frecuencias de los datos obtenidos de una muestra.

Ejemplo: Utilizando la tabla de frecuencia del tema organización de datos podemos sacar la moda de estos datos:

En este caso la moda es el dato 9, ya que contiene la frecuencia más alta, por lo tanto:
Moda=9.

MEDIA GEOMÉTRICA

Esta medida de tendencia central toma importancia en el tratamiento de la información relacionada con las matemáticas financieras, especialmente en la estimación del estado de una inversión en el tiempo. Para poder calcular el valor de la media geométrica, es necesario que conozcas una operación matemática.

PRODUCTO DE N DATOS

Supongamos que se requiere calcular el producto de tres números:

Total= 4 x 6 x 8

Este cálculo lo hacemos de dos en dos cifras, es decir, en primer lugar se multiplican 4 y 6; y registramos en la mente el resultado, en este caso 24 y posteriormente se hace el producto de 24 y8, dando un total de 192. No importa la cantidad de números que tengamos que multiplicar, siempre operamos de dos en dos, esto se debe a que la multiplicación es también una operación binaria. Se presenta ahora el caso en que deseamos calcular el producto de los dígitos; es decir:

Total=1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9

El cálculo no es muy sencillo; sin embargo nos enfrentamos a un problema de representación de la operación, ya que para calcular este producto, requerimos más espacio para desarrollar la fórmula.

Al igual que en el caso de la sumatoria , es posible indicar la operación de producto de un conjunto de n datos.

Para expresar el producto de los dígitos, debemos indicar que se realizará el producto desde el 1hasta el 9;para representar esta operación se utiliza la notación siguiente:

Si se da el caso de que se necesiten multiplicar los primeros 5 múltiplos de 3, se realizará la siguiente operación.


La fórmula anterior indica que en primer lugar, el índice i tomará el valor de 1, se multiplicará por 3 y se guardará, para después multiplicarlo con el valor siguiente del índice, utilizamos la siguiente tabla:

Es importante resaltar que esta operación, aún con números pequeños, refleja un total que crece rápidamente; por tanto es importante que utilices una calculadora adecuada para realizar estas operaciones.

CÁLCULO DE LA MEDIA GEOMÉTRICA PARA DATOS CON FRECUENCIA UNO

En primer lugar, es necesario definir esta medida de tendencia central:

La media geométrica mide la razón de cambio de una variable en el tiempo.

La fórmula para calcular el valor de la media geométrica es a siguiente:

Apoyándonos en la fórmula anterior podemos resolver el siguiente problema:
En un laboratorio químico, se conservan ciertos reactivos a una temperatura casi constante, se llevó a cabo una reacción química no planificada que resultó de gran interés, al verificar los orígenes que lo causaron, se percataron que existe un desajuste en las cámaras frigoríficas en las que se conservan los reactivos. El promedio diario registrado en una semana fue el siguiente:

Se requiere calcular la media geométrica de estos datos. El proceso que se realiza es el siguiente:
Partimos de la fórmula de la media geométrica:

Donde:

Sustituimos los valores:

CALCULO DE LA MEDIA GEOMÉTRICA PARA DATOS CON FRECUENCIA DIFERENTE DE UNO

Si se da el caso en que los datos que se desean calcular tienen frecuencia mayor a uno, se utilizará la siguiente fórmula:

Donde:


De la fórmula anterior es necesario indicar que la variable se elevará a la potencia que corresponda el valor de la frecuencia.

CONSIDERAMOS ACERCA DE LA MEDIA GEOMÉTRICA

La media geométrica resulta de utilidad en el manejo de cierto tipo de datos, ya que tienen las siguientes características:

• La media geométrica es siempre menor que la media aritmética.


• Si se trabaja con valores porcentuales, para su operación es recomendable utilizar su representación en valor decimal.


• Es menos sensible que la media aritmética o media, al cambio de los valores extremos.


• Está determinada siempre que los valores de los datos sean positivos, y tiene un comportamiento adecuado en las operaciones algebraicas.


• Es representativa, ya que en su cálculo intervienen todos los datos de la distribución.


• En su cálculo, no deben existir datos con valores iguales a cero, pues en este supuesto, el valor de la media geométrica será nulo.


• Es de gran utilidad cuando los datos presentan variaciones que se van acumulando, como sucede con las relaciones de cambio, tasas y porcentajes.

MEDIA ARMÓNICA

Al igual que sucede con la media geométrica, la media armónica tiene más aplicación en problemas específicos, generalmente se utiliza para promediar variables del tipo: productividad, velocidad, tiempos, rendimiento, cambios, entre otros. De acuerdo a la forma en la cual se obtiene su valor, se presenta una definición:

La media armónica es la inversa de la media aritmética de los valores de la variable.

Para calcular la media armónica de un conjunto de datos, en donde cada uno de los datos tiene frecuencia 1 se emplea la fórmula siguiente:

Donde:


Para calcular la media armónica de un conjunto de datos en donde cada uno de éstos tiene un valor diferente de 1, se obtiene la siguiente fórmula:

Donde:

Se desea saber la media armónica del porcentaje de autos extranjeros que cruzaron por una autopista de la frontera, en una semana.


En este planteamiento, los datos son diferentes entre sí, y consecuentemente tienen frecuencia igual a 1; en este caso utilizamos la fórmula:


De la cual sustituimos los valores.


Que presentado en valor porcentual es 20.65%